次つぎの  (1)～(9)に  答こたえよ。

(1)    を  計算けいさん  せよ。

(2)    を  計算けいさん  せよ。

(3)    を  計算けいさん  せよ。

(4)  1次じ方程式ほうていしき    を  解とけ。

(5)  2次じ方程式ほうていしき    を  解とけ。

  

(6)  下したの  図ずに  示しめす  三角柱さんかくちゅう  に  おいて，  辺へんと  ねじれの  位置いちに  ある  辺へんは  全部ぜんぶで  何本なんぼん  あるか  答こたえよ。

      

  

(7)  から  までの  目めが  出でる  つの  さいころ  ，  を  同時どうじに  投なげる  とき，  出でる  目めの  数すうの  積せきが  の  倍数ばいすうに  なる  確率かくりつを  求もとめよ。

  ただし，  さいころは  どの  目めが  出でる  ことも  同様どうように  確たしからしいと  する。

  

(8)  M中学校ちゅうがっこうの  全校ぜんこう  生徒せいと  人にんの  中なかから  無作為むさくいに  抽出ちゅうしゅつ  した  人にんに  対たいして  アンケートを  行おこなった  ところ，  地域ちいきで  ボランティア  活動かつどうに  参加さんか  した  ことが  ある  生徒せいとは  人にんで  あった。

  M中学校ちゅうがっこうの  全校ぜんこう  生徒せいとの  うち，  地域ちいきで  ボランティア  活動かつどうに  参加さんか  した  ことが  ある  生徒せいとの  人数にんずうは  およそ  何人なんにんと  推定すいてい  できるか  答こたえよ。

  

(9)  次つぎの  ア～エの  数量すうりょうの  関係かんけいの  うち，  が  の  乗じょうに  比例ひれい  する  ものを  1つ  選えらび，  記号きごうで  答こたえよ。  また，  その  関係かんけいに  ついて，  を  の  式しきで  表あらわせ。

  ア

半径はんけいが  の  円えんの  周しゅうの  長ながさを  と  する。

  イ

周しゅうの  長ながさが  の  長方形ちょうほうけいの  縦たての  長ながさを  ，  横よこの  長ながさを  と  する。

  ウ

面積めんせきが  の  三角形さんかくけいの  底辺ていへんの  長ながさを  ，  高たかさを  と  する。

  エ

底面ていめんの  辺ぺんの  長ながさが  ，  高たかさが  の  正四角せいしかくすいの  体積たいせきを  と  する。

  

  の  倍ばい数すうは，  整せい数すうに  を  用もちいて  と  表あらわされる。

  次つぎの  (1)，  (2)に  答こたえよ。

(1)  次つぎの  ア～カの  数すうの  うち，  整数せいすう  を  用もちいて    と  表あらわされる  ものを  すべて  選えらび，  記号きごうで  答こたえよ。

  ア  

  イ  

  ウ  

  エ  

  オ  

  カ  

  

(2)  と  ，  と  のように，  連続れんぞく  する  つの  の  倍数ばいすうに  おいて，  大おおきい  方ほうの  数すうの  乗じょうから  小ちいさい  方ほうの  数すうの  乗じょうを  ひいた  差さは，  もとの  つの  数すうの  和わの  倍ばいに  等ひとしく  なる  ことの  証明しょうめいを  完成かんせい  させよ。

(証明しょうめい)

整数せいすう  を  用もちいると， 

したがって，  連続れんぞく  する  つの  の  倍数ばいすうに  おいて，  大おおきい  方ほうの  数すうの  乗じょうから  小ちいさい  方ほうの  数すうの  乗じょうを  ひいた  差さは，  もとの  つの  数すうの  和わの  倍ばいに  等ひとしく  なる。

  

 A中学校ちゅうがっこうと  B中学校ちゅうがっこうの  生徒せいと  全員ぜんいんを  対象たいしょうに，  か月間げつかんに  読よんだ  本ほんの  冊数さっすうを  調査ちょうさ  した。

  表ひょう1は，  各中学校かくちゅうがっこうの  調査ちょうさ  結果けっかを  度数どすう分布表ぶんぷひょうに  整理せいり  した  もので  あり，  表ひょう2は，  各中学校かくちゅうがっこうの  平均値へいきんちを  示しめした  もので  ある。

  下したの  会話文かいわぶんは，  浩ひろしさんと  花はなさんが，  表ひょう1と  表ひょう2を  もとに，  「どちらの  中学校ちゅうがっこうの  生徒せいとが  よく  本ほんを  読よんで  いると  いえるか」に  ついて  会話かいわ  した  内容ないようの  一部いちぶで  ある。

  会話文かいわぶんを  読よんで，  次つぎの  (1)，  (2)に  答こたえよ。

表ひょう1

                                      

表ひょう2

      

浩ひろしさん

つの  中学校ちゅうがっこうを  階級かいきゅうごとに  比くらべて  みたら  どうかな。  その  とき，  各階級かくかいきゅうの  度数どすう  どうしを  そのまま  比くらべても  いいのかな。

花はなさん

①【各階級かくかいきゅうの  度数どすうでは  なく，  相対そうたい度数どすうを  比くらべると  いい】よ。  たとえば，  冊さつ  以上いじょう  冊さつ  未満みまんの  階級かいきゅうに  ついては，  度数どすうは  A中学校ちゅうがっこうの  方ほうが  大おおきいけれど，  相対そうたい度数どすうは  B中学校ちゅうがっこうの  方かたが  大おおきいよ。  ただ，  ある  階級かいきゅうの  相対そうたい度数どすうを  比くらべるだけで，  どちらの  中学校ちゅうがっこうの  生徒せいとが  よく  本ほんを  読よんで  いると  いえるかは  わからないね。

では，  代表値だいひょうちを  比くらべて  みたら  どうだろう。  たとえば，  平均値へいきんちを  比くらべると，  B中学校ちゅうがっこうの  方ほうが  A中学校ちゅうがっこうより  大おおきいので，  B中学校ちゅうがっこうの  生徒せいとの  方ほうが  よく  本ほんを  読よんで  いると  いえるよ。

B中学校ちゅうがっこうには，  冊さつ  以上いじょう  冊さつ  未満みまんの  階級かいきゅうに  人にんの  生徒せいとが  入はいって  いるので，  この  影響えいきょうを  受うけて  平均値へいきんちが  大おおきく  なって  いるのでは  ないかな。  ほかの  代表値だいひょうちを  比くらべると  どうだろう。

最頻値さいひんちを  比くらべると，  ともに  冊さつで  等ひとしいので，  どちらとも  いえないよ。

②【中央値ちゅうおうちを  比くらべると，  A中学校ちゅうがっこうの  生徒せいとの  方ほうが  よく  本ほんを  読よんで  いると  いえる】よ。

比くらべる  代表値だいひょうちに  よって，  どちらの  中学校ちゅうがっこうの  生徒せいとが  よく  本ほんを  読よんで  いると  いえるかは  違ちがって  くるね。  

(1)  ①で  述のべて  いるように，  各階級かくかいきゅうの  度数どすうでは  なく，  相対そうたい度数どすうを  比くらべると  よいのは  どのような  場合ばあいか  答こたえよ。  

(2)  表ひょう1に  おいて，  ②で  述のべて  いる  ことは  正ただしい。  正ただしい  理由りゆうを，  中央値ちゅうおうちが  ふくまれる  階級かいきゅうを  示しめして  説明せつめい  せよ。

  

 図ず1のように，  つの  直方体ちょくほうたいの  水すいそう，  水すいそうが，  台だいの  上うえに  水平すいへいに  置おかれ，  それぞれ  水みずが  入はいって  いる。  水すいそうには  管かんと  管かんを  使つかって  水みずを  入いれ，  水すいそうには  管かんを  使つかって  水みずを  入いれる。  管かん，  管かん，  管かんからは，  それぞれ  一定いっていの  水量すいりょうで  水みずが  出でる。

  水すいそうに  管かんだけを  使つかって  水みずを  入いれると，  水面すいめんの  高たかさは  毎分まいふん  ずつ  高たかく  なる。

  水すいそうに，  まず  管かんだけを  使つかって  分間ふんかん  水みずを  入いれ，  次つぎに  管かんと  管かんの  両方りょうほうを  使つかって  分間ぷんかん  水みずを  入いれ，  最後さいごに  再ふたたび  管かんだけを  使つかって  分間ぷんかん  水みずを  入いれた  ところ，  底そこから  水面すいめんまでの  高たかさが  に  なった。

  図ず2は，  水すいそうに  水みずを  入いれ  はじめてから  分後ふんごまでの  時間じかんと  底そこから  水面すいめんまでの  高たかさの  関係かんけいを  グラフに  表あらわした  もので  ある。

  ただし，  水すいそうの  厚あつさは  考かんがえない  ものと  する。

図ず1

     

図ず2

        

次つぎの  (1)～(3)に  答こたえよ。

  

 

(1)  次つぎの  ア～エの  表ひょうの  うち，  水すいそうに  水みずを  入いれはじめてから  分後ぷんごまでの  時間じかんと  底そこから  水面すいめんまでの  高たかさの  関係かんけいを  正ただしく  表あらわした  ものを  1つ  選えらび，  記号きごうで  答こたえよ。

 

  ア              

  イ              

  ウ              

  エ              

  

(2)  仮かりに，  管かん  だけを  使つかって  水みずを  入いれたと  すると，  水すいそうの  水面すいめんの  高たかさは  毎分まいふん  何なんずつ  高たかく  なるか  求もとめよ。

  

(3)  水すいそうには，  底そこから  の  高たかさまで  水みずが  入はいって  いる。

  水すいそうに  水みずを  入いれはじめてから  分後ふんごに  水すいそうに  水みずを  入いれはじめ，  分間ぷんかん  水みずを  入いれた  ところ，  水すいそうの  底そこから  水面すいめんまでの  高たかさが  に  なった。

  水すいそうに  水みずを  入いれはじめて  分後ふんごから  分後ふんごまでの  間あいだで，  水すいそうと  水すいそうの  底そこから  水面すいめんまでの  高たかさが  等ひとしく  なったのは，  水すいそうに  水みずを  入いれはじめてから  何分なんぷん何秒後なんびょうごか  求もとめよ。

  解答かいとうは，  水すいそうと  水すいそうに  ついて，  水すいそうに  水みずを  入いれはじめてから  分後ふんごの  底そこから  水面すいめんまでの  高たかさを  と  し，  下したの  条件じょうけんⅠ～条件じょうけんⅢに  したがって  かけ。

 

条件じょうけんⅠ  

水すいそうと  水すいそうの  それぞれに  ついて，   に  おける  と  の  関係かんけいを  表あらわす  式しきを，  それらの  式しきに  なる  理由りゆうも  ふくめて  かく  こと。  なお，  理由りゆうは  簡潔かんけつに  かく  こと。

条件じょうけんⅡ  

条件じょうけんⅠで  求もとめた  2つの  式しきを  使つかって  答こたえを  求もとめる  過程かていが  わかるように  かく  こと。

条件じょうけんⅢ  

解答かいとう欄らんの  【　　　　】の  中なかには，  あてはまる  数すうを  かく  こと。

  

  の  が  ある。

  図ず1のように，  点てんと  異ことなる  点てんを，  ，   と  なるように  とり，  点てんと  点てん，  点てんと  点てんを  それぞれ  結むすぶ。

  次つぎの  (1)～(3)に  答こたえよ。

図ず1

    

(1)  図ず1に  おいて，  次つぎのように，   で  ある  ことを  証明しょうめい  した。

 

証明しょうめい

と  に  おいて

共通きょうつうな  辺へんだから

      …①

仮定かていから

      …②

      …③

①，  ②，  ③より

組くみの  辺へんと  その  間あいだの  角かくが  それぞれ  等ひとしいので

    

合同ごうどうな  図形ずけいの  対応たいおう  する  角かくは  等ひとしいから

    

 

  証明しょうめいの  中なかで  示しめした   で  ある  ことから，   の  ほかに，  と  の  辺へんや  角かくの  関係かんけいに  ついて  新あらたに  わかる  ことが  組くみ  ある。  新あらたに  わかる  辺へんや  角かくの  関係かんけいを，  記号きごう  を  使つかって  答こたえよ。

  

(2)  図ず2は，  図ず1に  おいて，  線分せんぶんの  中点ちゅうてんを  と  し，  点てん，  が，  線分せんぶんを  直径ちょっけいと  する  半円はんえんの  上じょうに  ある  場合ばあいを  表あらわして  おり，  線分せんぶんと  線分せんぶん，  との  交点こうてんを  それぞれ  ，  と  した  もので  ある。

  この  とき，   で  ある  ことを  証明しょうめい  せよ。

図ず2

       

  

(3)  図ず3は，  図ず2に  おいて，   と  なる  場合ばあいを  表あらわして  おり，  線分せんぶんの  中点ちゅうてんを  と  し，  線分せんぶんと  線分せんぶんとの  交点こうてんを  ，  点てんを  通とおり  線分せんぶんに  平行へいこうな  直線ちょくせんと  線分せんぶんとの  交点こうてんを  と  した  もので  ある。

  この  とき，  四角形しかくけい  の  面積めんせきを  求もとめよ。

図ず3

          

  

 下したの  図ずは，  辺ぺんの  長ながさが  の  正四面体せいしめんたい  を  表あらわして  いる。

  次つぎの  (1)，  (2)に  答こたえよ。

    

(1)  図ずに  示しめす  立体りったいに  おいて， 

  辺へん，  ，  上じょうに  それぞれ  点てん，  ，  を，  ，  ，   と  なるように  とる。

  この  とき，  正四面体せいしめんたい  を  点てん  ，  ，  を  通とおる  平面へいめんで  分わけた  ときに  できる  2つの  立体りったいの  うち，  頂点ちょうてんを  ふくむ  立体りったいの  体積たいせきは，  正四面体せいしめんたい  の  体積たいせきの  何倍なんばいか  求もとめよ。

  

(2)  図ずに  示しめす  立体りったいに  おいて， 

  辺へんの  中点ちゅうてんを  と  し，  辺へん上じょうに  点てんを   と  なるように  とる。  点てんと  点てんを  結むすび，  点てんから  線分せんぶんに  垂線すいせんを  ひき，  線分せんぶんとの  交点こうてんを  と  する。

  この  とき，  線分せんぶんの  長ながさを  求もとめよ。

  

(1)  

(2)  

(3)  

(4)  

(5)  ，  

(6)  本ぼん

(7)  

(8)  およそ  人にん

(9)

記号きごう    エ

式しき   

  

(1)  ウ，  カ

(2)

(証明しょうめい)

整数せいすう  を  用もちいると，  

(例れい)

連続れんぞく  する  つの  の倍数ばいすうの  うち，  小ちいさい  方ほうの  数すうは  ，  大おおきい  方ほうの  数すうは   と  表あらわされる。

大おおきい  方ほうの  数すうの  乗じょうから  小ちいさい  方ほうの  数すうの  乗じょうを  ひいた  差さは，

，   は  もとの  つの  数すうだから， 

 は，  もとの  つの  数すうの  和わの  倍ばいで  ある。

したがって，  連続れんぞく  する  つの  の  倍数ばいすうに  おいて，  大おおきい  方ほうの  数すうの  乗じょうから  小ちいさい  方ほうの  数すうの  乗じょうを  ひいた  差さは，  もとの  つの  数すうの  和わの  倍ばいに  等ひとしく  なる。

  

(1)  (例れい)  度数どすうの  合計ごうけいが  異ことなる  場合ばあい

(2)

(説明せつめい)

(例れい)

中央値ちゅうおうちが  ふくまれる  階級かいきゅうは，  A中学校ちゅうがっこうが  冊さつ  以上いじょう  冊さつ  未満みまんで，  B中学校ちゅうがっこうは  冊さつ  以上いじょう  冊さつ  未満みまんで  あり，  中央値ちゅうおうちは  A中学校ちゅうがっこうの  方ほうが  B中学校ちゅうがっこうより  大おおきいから。

  

(1)  イ

(2)  毎分まいふん  

(3)

(解答かいとう)  水すいそうと  水すいそうに  ついて，  水すいそうに  水みずを  入いれはじめてから  分後ふんごの  底そこから  水面すいめんまでの  高たかさを  と  する。

(例れい)

 に  おける  水すいそうに  ついての  グラフは，  傾かたむきが  で，  点てん   を  通とおる  直線ちょくせんなので，  式しきは，    …①

 に  おける  水すいそうに  ついての  グラフは，  点てん  ，   を  通とおる  直線ちょくせんに  なるので，  式しきは，    …②

①，  ②を  連立れんりつ方程式ほうていしきと  して  解とくと，  ，  

 だから，  これは  問題もんだいに  あう。

水すいそうに  水みずを  入いれはじめてから  【分ぷん  秒後びょうご】

  

(1)     

(2)

(証明しょうめい)

(例れい)

と  に  おいて

対頂角たいちょうかくは  等ひとしいから

      …①

仮定かていから

      …②

 より，  は  二等辺にとうへん三角形さんかくけいだから

      …③

②，  ③より

      …④

①，  ④より，  組くみの  角かくが  それぞれ  等ひとしいので

    

(3)  

  

(1)  倍ばい

(2)