平成30年度 東京都 高校入試問題 数学
次の 各問に 答えよ。
[問1] を 計算 せよ。
[問2] を 計算 せよ。
[問3] を 計算 せよ。
[問4] 一次方程式 を 解け。
[問6] 二次方程式 を 解け。
次の 各問に 答えよ。
[問1] を 計算 せよ。
[問2] を 計算 せよ。
[問3] を 計算 せよ。
[問4] 一次方程式 を 解け。
[問6] 二次方程式 を 解け。
[問7] 次の の 中の 「あ」 「い」に 当てはまる 数字を それぞれ 答えよ。
下の 表は, 東京の ある 地点に おける 4月7日の 最高 気温に ついて, 過去 40年間の 記録を 調査 し, 度数分布表に 整理 した もので ある。
最高 気温が 以上で あった 日数は, 全体の 日数の あい で ある。
[問8] 次の の 中の 「う」 「え」 「お」に 当てはまる 数字を それぞれ 答えよ。
下の 図1で, の とき, で 示した 角の 大きさは, うえお 度で ある。
図1
[問9] 下の 図2のように, 円の 周上に 点, 円の 内部に 点が ある。
点が 点に 重なるように 1回だけ 折る とき, 折り目と 重なる 直線 を, 定規と コンパスを 用いて 作図 し, 直線 を 示す 文字 も 書け。
ただし, 作図に 用いた 線は 消さないで おく こと。
図2
ある 中学校で, Sさんが 作った 問題を みんなで 考えた。
次の 各問に 答えよ。
[Sさんが 作った 問題]
, , を 正の数と する。
下の 図1に 示した 立体 は, 底面が 1辺 の 正六角形, 高さが , 6つの 側面が 全て 合同な 長方形の 正六角柱で ある。
正六角形 に おいて, 対角線と 対角線の 交点を , 点から 辺に 垂線を 引き, 辺との 交点を と し, 線分の 長さを と する。
立体 の 表面積を と する とき, を , , を 用いて 表して みよう。
図1
Tさんは, [Sさんが 作った 問題]の 答えを 次の 形の 式で 表した。 Tさんの 答えは 正しかった。
〈Tさんの 答え〉
[問1] 〈Tさんの 答え〉の に 当てはまる 式を, 次の ア~エの うちから 選び, 記号で 答えよ。
ア
イ
ウ
エ
先生は, [Sさんが 作った 問題]を もとに して, 次の 問題を 作った。
[先生が 作った 問題]
, , を 正の数と する。
下の 図2に 示した 立体は, 底面が 半径 の 円, 高さが の 円柱で あり, 2つの 底面の 中心 , を 結んで できる 線分は, 2つの 底面に 垂直で ある。
この 立体に ついて, 底面の 円周を , 表面積を と する とき, と なる ことを 確かめなさい。
図2
[問2] [先生が 作った 問題]で, を を 用いて 表し, と なる ことを 証明 せよ。
ただし, 円周率は と する。
下の 図1で, 点は 原点, 曲線 は 関数 の グラフを 表して いる。
点, 点は ともに 曲線 上に あり, 座標は それぞれ , で ある。
曲線 上に ある 点を と する。
次の 各問に 答えよ。
図1
[問1] 点の 座標を , 座標を と する。
の とる 値の 範囲が の とき, の とる 値の 範囲を, 次の ア~エの うちから 選び, 記号で 答えよ。
ア
イ
ウ
エ
[問2] 下の 図2は, 図1に おいて, 点の 座標が より 大きく より 小さい 数の とき, 点と 点を 結び, 線分上に あり 座標が 点の 座標と 等しい 点を と し, 点と 点を 結び, 線分の 中点を と した 場合を 表して いる。
次の ①, ②に 答えよ。
図2
① 点が 軸上に ある とき, 2点 , を 通る 直線の 式を, 次の ア~エの うちから 選び, 記号で 答えよ。
ア
イ
ウ
エ
② 直線が 原点を 通る とき, 点の 座標を 求めよ。
下の 図1で, 点は 線分を 直径と する 円の 中心で ある。
点は 円の 周上に ある 点で, で ある。
点は, 点を 含まない 上に ある 点で, 点, 点の いずれにも 一致 しない。
点と 点, 点と 点を それぞれ 結び, 線分と 線分との 交点を と する。
次の 各問に 答えよ。
図1
[問1] 図1に おいて, と する とき, の 大きさを 表す 式を, 次の ア~エの うちから 選び, 記号で 答えよ。
ア 度
イ 度
ウ 度
エ 度
[問2] 下の 図2は, 図1に おいて, 点と 点, 点と 点を それぞれ 結び, 線分を の 方向に 延ばした 直線上に あり と なる 点を と し, 点と 点を 結んだ 場合を 表して いる。
次の ①, ②に 答えよ。
図2
① で ある ことを 証明 せよ。
② 次の の 中の 「か」 「き」に 当てはまる 数字を それぞれ 答えよ。
図2に おいて, 点と 点を 結んだ 場合を 考える。
の とき,
の 面積は, 四角形 の 面積の 倍で ある。
下の 図1に 示した 立体 は, , の 三角柱で ある。
辺の 中点を と する。
頂点と 点を 結び, 線分上に ある 点を と する。
頂点と 点, 頂点と 点を それぞれ 結ぶ。
次の 各問に 答えよ。
図1
[問1] 次の の 中の 「く」 「け」に 当てはまる 数字を それぞれ 答えよ。
図1に おいて, 点が 頂点に 一致 する とき, の 大きさは, くけ 度で ある。
[問2] 次の の 中の 「こ」 「さ」に 当てはまる 数字を それぞれ 答えよ。
下の 図2は, 図1に おいて, 頂点と 点, 頂点と 頂点を それぞれ 結んだ 場合を 表して いる。
の とき, 立体 の 体積は, こさ で ある。
図2
[問1]
[問2]
[問3]
[問4]
[問5] ,
[問6] ,
[問7] あ , い
[問8] う , え , お
[問9]
[問1] イ
[問2] [証明]
円柱の 側面は, 縦の 長さが , 横の 長さが 底面の 円周の 長さに 等しい 長方形だから,
側面積は
底面積は と なる。
したがって, 表面積 は,
…(1)
だから,
…(2)
(1), (2)より,
[問1] ウ
[問2]
① ア
②
[問1] エ
[問2]
① [証明]
と に おいて,
仮定から,
…(1)
半円の弧に対する円周角だから,
…(2)
(2)より, だから,
…(3)
共通な辺だから,
…(4)
(1), (3), (4)より, 2組の 辺と その 間の 角が それぞれ 等しいから,
② か , き
[問1] く , け
[問2] こ , さ