平成30年度 福岡県 高校入試問題 数学
次の (1)~(9)に 答えよ。
(1) を 計算 せよ。
(2) を 計算 せよ。
(3) を 計算 せよ。
(4) 1次方程式 を 解け。
(5) 2次方程式 を 解け。
次の (1)~(9)に 答えよ。
(1) を 計算 せよ。
(2) を 計算 せよ。
(3) を 計算 せよ。
(4) 1次方程式 を 解け。
(5) 2次方程式 を 解け。
(6) 下の 図に 示す 三角柱 に おいて, 辺と ねじれの 位置に ある 辺は 全部で 何本 あるか 答えよ。
(7) から までの 目が 出る つの さいころ , を 同時に 投げる とき, 出る 目の 数の 積が の 倍数に なる 確率を 求めよ。
ただし, さいころは どの 目が 出る ことも 同様に 確からしいと する。
(8) M中学校の 全校 生徒 人の 中から 無作為に 抽出 した 人に 対して アンケートを 行った ところ, 地域で ボランティア 活動に 参加 した ことが ある 生徒は 人で あった。
M中学校の 全校 生徒の うち, 地域で ボランティア 活動に 参加 した ことが ある 生徒の 人数は およそ 何人と 推定 できるか 答えよ。
(9) 次の ア~エの 数量の 関係の うち, が の 乗に 比例 する ものを 1つ 選び, 記号で 答えよ。 また, その 関係に ついて, を の 式で 表せ。
の 倍数は, 整数に を 用いて と 表される。
次の (1), (2)に 答えよ。
(1) 次の ア~カの 数の うち, 整数 を 用いて と 表される ものを すべて 選び, 記号で 答えよ。
ア
イ
ウ
エ
オ
カ
(2) と , と のように, 連続 する つの の 倍数に おいて, 大きい 方の 数の 乗から 小さい 方の 数の 乗を ひいた 差は, もとの つの 数の 和の 倍に 等しく なる ことの 証明を 完成 させよ。
(証明)
整数 を 用いると,
したがって, 連続 する つの の 倍数に おいて, 大きい 方の 数の 乗から 小さい 方の 数の 乗を ひいた 差は, もとの つの 数の 和の 倍に 等しく なる。
A中学校と B中学校の 生徒 全員を 対象に, か月間に 読んだ 本の 冊数を 調査 した。
表1は, 各中学校の 調査 結果を 度数分布表に 整理 した もので あり, 表2は, 各中学校の 平均値を 示した もので ある。
下の 会話文は, 浩さんと 花さんが, 表1と 表2を もとに, 「どちらの 中学校の 生徒が よく 本を 読んで いると いえるか」に ついて 会話 した 内容の 一部で ある。
会話文を 読んで, 次の (1), (2)に 答えよ。
表1
表2
浩さん
つの 中学校を 階級ごとに 比べて みたら どうかな。 その とき, 各階級の 度数 どうしを そのまま 比べても いいのかな。
花さん
①【各階級の 度数では なく, 相対度数を 比べると いい】よ。 たとえば, 冊 以上 冊 未満の 階級に ついては, 度数は A中学校の 方が 大きいけれど, 相対度数は B中学校の 方が 大きいよ。 ただ, ある 階級の 相対度数を 比べるだけで, どちらの 中学校の 生徒が よく 本を 読んで いると いえるかは わからないね。
では, 代表値を 比べて みたら どうだろう。 たとえば, 平均値を 比べると, B中学校の 方が A中学校より 大きいので, B中学校の 生徒の 方が よく 本を 読んで いると いえるよ。
B中学校には, 冊 以上 冊 未満の 階級に 人の 生徒が 入って いるので, この 影響を 受けて 平均値が 大きく なって いるのでは ないかな。 ほかの 代表値を 比べると どうだろう。
最頻値を 比べると, ともに 冊で 等しいので, どちらとも いえないよ。
②【中央値を 比べると, A中学校の 生徒の 方が よく 本を 読んで いると いえる】よ。
比べる 代表値に よって, どちらの 中学校の 生徒が よく 本を 読んで いると いえるかは 違って くるね。
(1) ①で 述べて いるように, 各階級の 度数では なく, 相対度数を 比べると よいのは どのような 場合か 答えよ。
(2) 表1に おいて, ②で 述べて いる ことは 正しい。 正しい 理由を, 中央値が ふくまれる 階級を 示して 説明 せよ。
図1のように, つの 直方体の 水そう, 水そうが, 台の 上に 水平に 置かれ, それぞれ 水が 入って いる。 水そうには 管と 管を 使って 水を 入れ, 水そうには 管を 使って 水を 入れる。 管, 管, 管からは, それぞれ 一定の 水量で 水が 出る。
水そうに 管だけを 使って 水を 入れると, 水面の 高さは 毎分 ずつ 高く なる。
水そうに, まず 管だけを 使って 分間 水を 入れ, 次に 管と 管の 両方を 使って 分間 水を 入れ, 最後に 再び 管だけを 使って 分間 水を 入れた ところ, 底から 水面までの 高さが に なった。
図2は, 水そうに 水を 入れ はじめてから 分後までの 時間と 底から 水面までの 高さの 関係を グラフに 表した もので ある。
ただし, 水そうの 厚さは 考えない ものと する。
図1
図2
次の (1)~(3)に 答えよ。
(1) 次の ア~エの 表の うち, 水そうに 水を 入れはじめてから 分後までの 時間と 底から 水面までの 高さの 関係を 正しく 表した ものを 1つ 選び, 記号で 答えよ。
ア
イ
ウ
エ
(2) 仮に, 管 だけを 使って 水を 入れたと すると, 水そうの 水面の 高さは 毎分 何ずつ 高く なるか 求めよ。
(3) 水そうには, 底から の 高さまで 水が 入って いる。
水そうに 水を 入れはじめてから 分後に 水そうに 水を 入れはじめ, 分間 水を 入れた ところ, 水そうの 底から 水面までの 高さが に なった。
水そうに 水を 入れはじめて 分後から 分後までの 間で, 水そうと 水そうの 底から 水面までの 高さが 等しく なったのは, 水そうに 水を 入れはじめてから 何分何秒後か 求めよ。
解答は, 水そうと 水そうに ついて, 水そうに 水を 入れはじめてから 分後の 底から 水面までの 高さを と し, 下の 条件Ⅰ~条件Ⅲに したがって かけ。
の が ある。
図1のように, 点と 異なる 点を, , と なるように とり, 点と 点, 点と 点を それぞれ 結ぶ。
次の (1)~(3)に 答えよ。
図1
(1) 図1に おいて, 次のように, で ある ことを 証明 した。
証明
と に おいて
共通な 辺だから
…①
仮定から
…②
…③
①, ②, ③より
組の 辺と その 間の 角が それぞれ 等しいので
合同な 図形の 対応 する 角は 等しいから
証明の 中で 示した で ある ことから, の ほかに, と の 辺や 角の 関係に ついて 新たに わかる ことが 組 ある。 新たに わかる 辺や 角の 関係を, 記号 を 使って 答えよ。
(2) 図2は, 図1に おいて, 線分の 中点を と し, 点, が, 線分を 直径と する 半円の 上に ある 場合を 表して おり, 線分と 線分, との 交点を それぞれ , と した もので ある。
この とき, で ある ことを 証明 せよ。
図2
(3) 図3は, 図2に おいて, と なる 場合を 表して おり, 線分の 中点を と し, 線分と 線分との 交点を , 点を 通り 線分に 平行な 直線と 線分との 交点を と した もので ある。
この とき, 四角形 の 面積を 求めよ。
図3
下の 図は, 辺の 長さが の 正四面体 を 表して いる。
次の (1), (2)に 答えよ。
(1) 図に 示す 立体に おいて,
辺, , 上に それぞれ 点, , を, , , と なるように とる。
この とき, 正四面体 を 点 , , を 通る 平面で 分けた ときに できる 2つの 立体の うち, 頂点を ふくむ 立体の 体積は, 正四面体 の 体積の 何倍か 求めよ。
(2) 図に 示す 立体に おいて,
辺の 中点を と し, 辺上に 点を と なるように とる。 点と 点を 結び, 点から 線分に 垂線を ひき, 線分との 交点を と する。
この とき, 線分の 長さを 求めよ。
(1)
(2)
(3)
(4)
(5) ,
(6) 本
(7)
(8) およそ 人
(9)
記号 エ
式
(1) ウ, カ
(2)
(証明)
整数 を 用いると,
(例)
連続 する つの の倍数の うち, 小さい 方の 数は , 大きい 方の 数は と 表される。
大きい 方の 数の 乗から 小さい 方の 数の 乗を ひいた 差は,
, は もとの つの 数だから,
は, もとの つの 数の 和の 倍で ある。
したがって, 連続 する つの の 倍数に おいて, 大きい 方の 数の 乗から 小さい 方の 数の 乗を ひいた 差は, もとの つの 数の 和の 倍に 等しく なる。
(1) (例) 度数の 合計が 異なる 場合
(2)
(説明)
(例)
中央値が ふくまれる 階級は, A中学校が 冊 以上 冊 未満で, B中学校は 冊 以上 冊 未満で あり, 中央値は A中学校の 方が B中学校より 大きいから。
(1) イ
(2) 毎分
(3)
(解答) 水そうと 水そうに ついて, 水そうに 水を 入れはじめてから 分後の 底から 水面までの 高さを と する。
(例)
に おける 水そうに ついての グラフは, 傾きが で, 点 を 通る 直線なので, 式は, …①
に おける 水そうに ついての グラフは, 点 , を 通る 直線に なるので, 式は, …②
①, ②を 連立方程式と して 解くと, ,
だから, これは 問題に あう。
水そうに 水を 入れはじめてから 【分 秒後】
(1)
(2)
(証明)
(例)
と に おいて
対頂角は 等しいから
…①
仮定から
…②
より, は 二等辺三角形だから
…③
②, ③より
…④
①, ④より, 組の 角が それぞれ 等しいので
(3)
(1) 倍
(2)